Op de meeste scholen wordt natuurkunde vanaf klas 2 aangeboden. In dit eerste natuurkundejaar komt het werken met de formule voor dichtheid en voor snelheid meestal wel aan bod. Stapsgewijs nemen we de leerlingen daarin mee, bijvoorbeeld door een verhoudingstabel en een formule in woorden. Daarmee werken we toe naar het werken met de bekende formules in letters.
Dit artikel is geplaatst in editie 10 van de NVOX uit 2023, het vakblad van de Nederlandse Vereniging voor het Onderwijs in de Natuurwetenschappen (NVON)
Een verhoudingstabel is een mooie en effectieve manier om de leerlingen met (recht evenredige) verbanden te laten werken. De stap die op de eerste regel gezet moet worden, moet ook op de tweede regel gezet worden. Hoe de leerlingen dat rekenkundig aanpakken, maakt mij daarbij niet zo heel veel uit. Zo mogen ze een tussenstap via 1 gebruiken (zoals op mijn school bij wiskunde aangeleerd). Maar als ze deze tussenstap via 1 overslaan of kruislings vermenigvuldigen beheersen, vind ik het ook prima als ze dat gebruiken. De verhoudingstabel is namelijk een hulpmiddel dat ik tot en met vwo-6 inzet om de leerlingen te helpen de stap te maken van een abstracte opgaventekst naar een overzichtelijke opgave. Een belangrijke stap in het herkennen van het recht evenredige verband.
Deze verhoudingstabel uit klas 2 is de opmaat naar het herkennen van patronen en het inzicht krijgen in de structuur van een formule. Om dit te demonstreren, gebruik ik verschillende blokjes aluminium met een volume van 1, 2, 4 en 10 kubieke centimeter. Deze weeg ik voor de klas en de bijbehorende massa’s schrijf ik er in de verhoudingstabel bij. Samen met de leerlingen ga ik nu deze massa’s en volumes door elkaar delen, waarbij we de conclusie trekken dat die verhouding steeds nagenoeg hetzelfde is. Oftewel: de massa gedeeld door een volume is een constante, steeds hetzelfde getal. Vooral bij het vwo probeer ik hier al de brug al te slaan naar wiskunde, want daar hebben ze al gewerkt met de letters x en y en bijvoorbeeld y/x = een getal. De stap naar y = a · x is dan niet zo groot meer, of in het geval van dichtheid m = ρ · V. Een mooie formule om mee uit te leggen dat als het volume V zes keer zo groot wordt, de massa m dat ook wordt.
Wanneer de leerlingen in de bovenbouw gekozen hebben voor natuurkunde, hebben ze dus al een basis in het werken met formules en het zien van verbanden. Maar pas in de bovenbouw gaan we bewuster met grafieken en de bijbehorende verbanden aan de slag. Dat begint bij het onderwerp bewegen, waarbij plaats-tijd-, snelheid-tijd- en versnelling-tijd-diagrammen en hun onderlinge relaties aan bod komen. Deze kennis sluit aan bij de exameneisen waar we naartoe aan het werken zijn: het redeneren en werken met evenredigheden dat onder subdomein A12 valt.
Aan de hand van de verschillende bewegingsgrafieken ontdek ik samen met de leerlingen de verbanden die bestaan. Hoe herkennen we een recht evenredig verband? Wat is het verschil tussen een lineair verband en een recht evenredig verband? Welke formules ken je vanuit de wiskunde voor deze verbanden en hoe kunnen we dat loslaten op deze grafieken. Buiten de praktische vaardigheid in het oplossen van de vraagstukken over beweging, bouw ik dus ook hier al aan het opbouwen van het redeneren en werken met evenredigheden.
Dit komt later in het jaar mooi terug in het hoofdstuk elektriciteit. Dat is het moment dat we de verbanden uit gaan breiden met kwadratische verbanden en de coördinatentransformatie. Deze coördinatentransformatie is een abstract begrip voor leerlingen, maar kan praktisch teruggebracht worden tot het bewijzen dat het vermoedde verband ook echt klopt. Bij een recht evenredig verband is het hellingsgetal gelijk aan a in de vergelijking y = a · x. Wanneer we een formule hebben met de vergelijking y = a · x², dan staat a weer voor het hellingsgetal als we de y en x² langs de y- respectievelijk x-as zetten.
Om dit in te oefenen gaan de leerlingen aan de slag met een practicum ‘de weerstand van een draad’. Steeds wordt één grootheid veranderd, waarbij gekeken wordt wat daarvan de invloed is op de weerstand van een constantaandraad. De onderzoeksvragen waar de leerlingen een antwoord op moeten vinden zijn: “Wat is het kwantitatieve verband tussen de draadlengte ℓ en de weerstand R?” en “Wat is het kwantitatieve verband tussen de draaddikte d en de weerstand R?”
We beperken ons dus tot de verandering van de lengte en de diameter van de draad. De uitvoering van het practicum is vrij eenvoudig, zodat de nadruk echt komt te liggen op het vastleggen van het verband, het toepassen van een coördinatentransformatie waar nodig, en het goed kunnen verwoorden van de conclusie.
Door in stappen te werken aan vaardigheden en inzichten, hoop ik dat de leerlingen dat natuurkundige en soms wiskundige patroon gaan ontdekken. Natuurkunde is niet zo moeilijk als zo vaak geroepen wordt. Als je het niet helemaal snapt heb je het gewoon nog niet helemaal begrepen. En die ontdekkingstocht onderneem ik graag samen met de leerlingen, want er is niets zo mooi als zien dat een leerling het patroon ontdekt.
Download artikel: Wiskundige patronen in de natuurkunde NVOX